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鄭玄的數(shù)學(xué)世界——鄭氏以數(shù)學(xué)注經(jīng)的方式、背景與歷史貢獻(xiàn)

作者：朱一文

來源：《哲學(xué)與文化》第四十八卷第十一期

內(nèi)容摘要：作為兩漢經(jīng)學(xué)的集大成者，鄭玄遍注群經(jīng)、統(tǒng)一融合古今文說，又精通歷算，善《九章算術(shù)》。然而，以往學(xué)術(shù)界對(duì)其數(shù)學(xué)未有專門之研究。從鄭玄三禮注看，他引鄭眾說注“九數(shù)”，暗示《九章算術(shù)》來源于《周禮》，并多次提到“粟米法”、使用“勾股術(shù)”。他又往往給出算法的大概或者其結(jié)果、而不給出計(jì)算細(xì)節(jié)，并以之來消除各經(jīng)典或版本之間的差異，其注緯書也用到數(shù)學(xué)，從而為后世學(xué)者創(chuàng)造了發(fā)展數(shù)學(xué)的文本語境。王莽之際，劉歆提出數(shù)學(xué)是音律、度量衡、歷法基礎(chǔ)的思想；光和二年，大司農(nóng)斛、權(quán)銘文確立了這一思想與《九章算術(shù)》的權(quán)威地位。東漢末年經(jīng)學(xué)章句繁多，與鄭眾、許慎、馬融等人相比，鄭玄更擅長使用數(shù)學(xué)、歷算，因此鄭氏引《九章算術(shù)》注經(jīng)具有了政治與學(xué)術(shù)的雙重合法性。然而，在其經(jīng)學(xué)研究的基礎(chǔ)上，后世儒家發(fā)展出與以《九章算術(shù)》為代表的傳統(tǒng)算學(xué)相對(duì)獨(dú)立的經(jīng)算傳統(tǒng)，卻偏離了鄭玄以數(shù)學(xué)注經(jīng)之初衷。

關(guān)鍵詞：鄭玄、《九章算術(shù)》、經(jīng)學(xué)、經(jīng)算、劉歆、三禮

作者簡介：朱一文，廣州中山大學(xué)哲學(xué)系暨邏輯與認(rèn)知研究所副教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)、象棋史與游戲文化。

壹、前言

作為兩漢經(jīng)學(xué)的集大成者，鄭玄（127-200）遍注群經(jīng)、融合古今文說?！逗鬂h書·鄭玄傳》云鄭氏通“《三統(tǒng)歷》《九章算術(shù)》”，又云“玄善算”，[1]由此可知鄭玄在天文、數(shù)學(xué)[2]方面有一定的造詣。然而，與其經(jīng)學(xué)研究相比，學(xué)術(shù)界對(duì)其科學(xué)知識(shí)與思想研究不多。[3]不過，鄭玄與中國古代數(shù)學(xué)的關(guān)系一直備受關(guān)注。近代數(shù)學(xué)史家錢寶琮（1892-1974）認(rèn)為“《九章算術(shù)》和許慎《說文解字》相仿，是東漢初年儒學(xué)的一部分，與儒家的傳統(tǒng)思想有密切關(guān)系”，又說“《九章算術(shù)》的編集與東漢初年經(jīng)古文學(xué)派的儒士有密切的關(guān)系”，并提到了鄭眾（？-83）、馬續(xù)（馬融之兄）、馬融（79-166）三位經(jīng)學(xué)家。[4]郭書春認(rèn)為鄭玄“與劉洪、徐岳等實(shí)際上形成了一個(gè)數(shù)學(xué)中心”，并說“劉徽是通過鄭玄注本研讀《周禮》的，鄭玄注本成為他注《九章》時(shí)‘采其所見’的直接數(shù)據(jù)之一。”[5]劉洪（約129-190）作《乾象歷》、徐岳（生于東漢末）著《數(shù)書記遺》、劉徽景元四年（263）注《九章算術(shù)》，他們都是當(dāng)時(shí)著名的天文歷算家。學(xué)術(shù)界的這些看法肯定了東漢經(jīng)學(xué)與《九章算術(shù)》編撰之間的關(guān)系，肯定了鄭玄對(duì)劉徽作注的影響，留下了進(jìn)一步研究的空間。

筆者近年來著力研究儒家經(jīng)典注疏中的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)南北朝隋唐儒家在經(jīng)學(xué)研究中發(fā)展出了相對(duì)獨(dú)立的、與《九章算術(shù)》不同的算法傳統(tǒng)（清人稱之為“經(jīng)算”），[6]并且這一算法傳統(tǒng)一直延續(xù)到清末。[7]具體而言，《九章算術(shù)》的“術(shù)”依靠算籌實(shí)施，有“構(gòu)造性”、“機(jī)械化”和“寓理于算”等特色，而且其應(yīng)用是廣泛的；相較之下，經(jīng)學(xué)研究中的算法傳統(tǒng)基本不用算籌，而僅憑借書寫進(jìn)行計(jì)算和推理，并且只發(fā)生在鄭玄等前人關(guān)于數(shù)學(xué)的注解之處。[8]在此研究理路之下，我們會(huì)問鄭玄自己的數(shù)學(xué)是否也是儒家傳統(tǒng)？筆者認(rèn)為答案是否定的。但是，鄭氏為何采取這種注經(jīng)方式，而這一方式又何以能對(duì)后世數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生如此大的影響？為了回答這些問題，我們必須進(jìn)一步分析鄭玄與中國古代數(shù)學(xué)或《九章算術(shù)》的關(guān)系，推進(jìn)中國數(shù)學(xué)史與經(jīng)學(xué)史，這即是本文的目的。

貳、鄭玄引《九章算術(shù)》以注經(jīng)

在遍注群經(jīng)的過程中，鄭玄用到許多思想資源。以往學(xué)界比較關(guān)注鄭玄在其中所用到的讖緯思想。[9]其實(shí)，鄭玄也大量用到數(shù)學(xué)。筆者認(rèn)為大致而言，鄭氏對(duì)數(shù)學(xué)的用法有三個(gè)層次：首先，他論述了數(shù)學(xué)與周禮之關(guān)系；其次，他的數(shù)學(xué)注提供了后世發(fā)展數(shù)學(xué)的文本語境；最后，他的目的都是以數(shù)學(xué)為工具來消除或彌合各經(jīng)典之間的差異。下面依次論述之。

鄭玄的禮學(xué)研究對(duì)后世影響極大，以至于有“禮是鄭學(xué)”的說法。在這中間，鄭氏注《周禮》“九數(shù)”對(duì)古人認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展有很大的影響。《周禮·地官·保氏》云：“養(yǎng)國子以道，乃教之六藝。一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數(shù)?！编嵭嵄娬f：“九數(shù)，方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”[10]這即是把“九數(shù)”解釋成關(guān)于數(shù)學(xué)的九個(gè)名目。今本《九章算術(shù)》的九章卷名依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股。衰分即差分、盈不足即贏不足，因此鄭玄引鄭眾說與《九章算術(shù)》高度接近（僅盈不足和方程的順序、旁要和句股不同）。學(xué)界一般認(rèn)為這就說明了《周禮》九數(shù)與《九章算術(shù)》的傳承關(guān)系。實(shí)際上，由于鄭玄通《九章算術(shù)》，他引鄭眾的說法，就是建構(gòu)了由《周禮》“九數(shù)”到鄭眾“九數(shù)”的遞進(jìn)發(fā)展關(guān)系。藉由這一關(guān)系，鄭玄把數(shù)學(xué)引入了《周禮》，并暗示《九章算術(shù)》由其衍生而來。劉徽注《九章算術(shù)》序云：“按周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣?！盵11]無疑，沿用并肯定鄭玄的看法。

鄭玄注經(jīng)多次直接提到“粟米法”或“粟米之法”。鄭氏注《周禮·考工記》“?氏為量”云“于今粟米法，少二升八十一分升之二十二?！盵12]鄭氏又注《禮記·喪大記》云：“二十兩曰溢，于粟米之法，為米一升二十四分升之一?！盵13]這兩處的計(jì)算，前者是關(guān)于體積與容積之間的換算，后者是重量與容積的換算。今本《九章算術(shù)》卷二粟米是各種谷物之間的換算，卷五商功“委粟術(shù)”中則有體積與容積之轉(zhuǎn)換。因此，鄭玄引“粟米法”注《周禮》《禮記》也是將數(shù)學(xué)引入經(jīng)學(xué)研究。在鄭注的基礎(chǔ)上，北周甄鸞撰、唐初李淳風(fēng)（602-670）等注釋《五經(jīng)算術(shù)》、唐初孔穎達(dá)（574-648）等編撰《禮記正義》、賈公彥（活躍于650-655）作《周禮注疏》都對(duì)此續(xù)有探討。[14]

鄭玄注經(jīng)往往僅給出算法的大概，而沒有計(jì)算的細(xì)節(jié)。例如《周禮·考工記》云：“參分弓長，以其一為之尊”。鄭注：“尊，高也。六尺之弓，上近部平者二尺，爪末下于部二尺。二尺為句，四尺為弦，求其股。股十二。除之，面三尺幾半也。”[15]《九章算術(shù)》卷九勾股曰：“今有弦五尺，句三尺，問為股幾何。荅曰：四尺。句股術(shù)曰：……又，句自乘，以減股自乘，其余，開方除之，即股?！盵16]可見，鄭玄的算法與《九章算術(shù)》勾股術(shù)一致，而且同樣沒有給出開方運(yùn)算的細(xì)節(jié)。賈公彥在此基礎(chǔ)上給出了不同于《九章算術(shù)》籌算開方術(shù)的幾何開方算法，甄鸞撰、李淳風(fēng)等注釋之《五經(jīng)算術(shù)》則解之于籌算開方術(shù)。[17]又《禮記·投壺》云：“壺頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容斗五升……?！编嵶ⅲ骸靶蓿L也。腹容斗五升，三分益一，則為二斗，得圜囷之象，積三百二十四寸也。以腹修五寸約之，所得。求其圜周，圜周二尺七寸有奇。是為腹頸九寸有余也……?！盵18]此處鄭玄給出計(jì)算投壺直徑的算法，但同樣未述細(xì)節(jié)。甄鸞撰、李淳風(fēng)等注釋《五經(jīng)算術(shù)》、孔穎達(dá)等《禮記正義》續(xù)有討論。[19]

鄭玄有時(shí)給出計(jì)算的結(jié)果，而不給出過程。《儀禮·喪服》云：“苴绖大隔，左本在下，去五分一以為帶……?！庇纱私o出斬衰、齊衰、大功、小功和緦麻等五服绖帶粗細(xì)按照1/5遞減的關(guān)系。鄭注《儀禮》：“盈手曰擱，擱，?也。中人之?，圍九寸。以五分一以為殺者，象五服之?dāng)?shù)也……?！盵20]又注《禮記》：“（齊衰）绖之大俱七寸五分寸之一，（齊衰）帶五寸二十五分寸之十九。（大功）绖之大俱五寸二十五分寸之十九，（大功）帶四寸百二十五分寸之七十六。”[21]由此，鄭玄給出了斬衰、齊衰、大功、小功绖帶的四個(gè)數(shù)值，但未給算法。[22]又鄭注《儀禮·喪服》“飲粥，朝一溢米，夕一溢米”云：“二十兩曰溢，為米一升二十四分升之一?！盵23]注《禮記·喪大記》同段文字則指出“粟米之法”，但這兩處都沒有給出細(xì)節(jié)。

鄭玄引《九章算術(shù)》以注經(jīng)之目的是以數(shù)學(xué)來消除各經(jīng)典或版本之間的差異，從而統(tǒng)一經(jīng)義?！吨芏Y·考工記》云：“量之以為鬴。深尺，內(nèi)方尺而圜其外。其實(shí)一鬴。”鄭注：“以其容為之名也。四升曰豆，四豆曰區(qū)，四區(qū)曰鬴，鬴六斗四升也。鬴十則鐘。方尺，積千寸。于今粟米法，少二升八十一分升之二十二。其數(shù)必容鬴。此言大方耳。圜其外者，為之唇。”[29]賈公彥指出“四升曰豆，四豆曰區(qū)，四區(qū)曰鬴，鬴六斗四升也。鬴十則鐘”引自《春秋左氏傳》。因此，鄭玄發(fā)現(xiàn)《左氏傳》與《周禮》對(duì)?氏量的記載有差異，并試圖以《九章算術(shù)》粟米法的計(jì)算來調(diào)和兩者?！吨芏Y·考工記》又云：“軓前十尺，而策半之。”鄭注：“謂辀軓以前之長也。策，御者之策也。十，或作七。令七為弦，四尺七寸為鉤，以求其股。股則短也，七非也?！盵30]因此，鄭玄發(fā)現(xiàn)《考工記》另一版本中是“軓前七尺”，并通過勾股術(shù)的計(jì)算說明“十”是正確的，“七”是錯(cuò)誤的?！逗鬂h書·鄭玄傳》載鄭玄晚年寫給其子的書信云：“念述先圣之元意，思整百家之不齊，亦庶幾以竭吾才，故聞命罔徒?！盵31]由是可知，統(tǒng)一各家經(jīng)義，恢復(fù)圣人的原意，是鄭玄的抱負(fù)，而數(shù)學(xué)是實(shí)現(xiàn)其抱負(fù)的有利工具。

從經(jīng)學(xué)史的角度看，漢末經(jīng)學(xué)章句繁多，令讀書人無所適用。鄭玄博覽群經(jīng)，兼習(xí)眾說，融合古今文說，完成經(jīng)學(xué)的統(tǒng)一。[32]馬融就曾次以數(shù)學(xué)注經(jīng)。鄭玄早年曾在其門下，三年不得見?！皶?huì)融集諸生考論圖緯，聞玄善算，乃召見于樓上。玄因從質(zhì)諸疑義，問畢辭歸?！盵33]相比馬融，鄭玄更加重視數(shù)學(xué)的作用，并大量使用《九章算術(shù)》及其“粟米法”、“句股術(shù)”等算法注經(jīng)，完成經(jīng)學(xué)的統(tǒng)一。

參、鄭玄以數(shù)學(xué)注經(jīng)的歷史語境

清人皮錫瑞（1850-1908）《經(jīng)學(xué)歷史》云：“鄭君博學(xué)多師，今古文道通為一，見當(dāng)時(shí)兩家相攻擊，意欲參合其學(xué)，自成一家之言，雖以古學(xué)為宗，亦兼采今學(xué)以附益其義。學(xué)者苦其時(shí)家法繁雜，見鄭君博通廣大，無所不包，眾論翕然歸之，不復(fù)舍此趨彼。于是鄭《易注》行，而施、孟、梁丘、京之《易》不行矣；鄭《書注》行，而歐陽、大小夏侯之《書》不行矣；鄭《詩箋》行，而魯、齊、韓之《詩》不行矣；鄭《禮注》行，而大小戴之《禮》不行矣；鄭《論語注》行，而齊、魯《論語》不行矣?！盵34]因之，我們要問：其他學(xué)者信服鄭注是否與其把數(shù)學(xué)或《九章算術(shù)》作為注經(jīng)工具之一有關(guān)呢?

事實(shí)上，這確與東漢晚期《九章算術(shù)》的法定權(quán)威地位有關(guān)。光和大司農(nóng)銅斛銘文曰：“大司農(nóng)以戊寅詔書，秋分之日，同度量，均衡石，捔斗桶，正權(quán)概，特更為諸州作銅斗、斛、稱、尺。依黃鐘律歷、《九章算術(shù)》，以均長短、輕重、大小，用齊七政，令海內(nèi)都同。光和二年閏三月廿三日，大司農(nóng)曹祾，丞淳于宮，右倉曹掾朱音，史韓鴻造。”[35]另外兩個(gè)光和二年的銅斛和一個(gè)同年的銅權(quán)也有類似的銘文。[36]“光和”為漢靈帝年號(hào)，二年為179年，正是鄭玄注經(jīng)之時(shí)。這些銘文說明其時(shí)《九章算術(shù)》已經(jīng)被官方奉為經(jīng)典，并與黃鐘律歷同為校正度量衡的重要工具。在此背景之下，鄭玄用《九章算術(shù)》來考訂或融合不同經(jīng)典中的長度、體積、容積、重量等數(shù)據(jù)就有了官方背書的合法性和權(quán)威性。

大司農(nóng)斛、權(quán)銘文把數(shù)學(xué)放在重要位置的想法，實(shí)際來自于劉歆（前50-公元23）。班固（32-92）《漢書·律歷志》引劉歆給王莽的奏疏云：“一曰備數(shù)，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰權(quán)衡。參五以變，錯(cuò)綜其數(shù)，稽之于古今，効之于氣物，和之于心耳，考之于經(jīng)傳，咸得其實(shí)，扉不協(xié)同?！盵37]即劉氏之“律”包括“備數(shù)”、“和聲”、“審度”、“嘉量”、“權(quán)衡”五部分內(nèi)容，“備數(shù)”居首，可以“稽之于古今”、“考之于經(jīng)傳”。《漢志》“備數(shù)”開篇云：“數(shù)者，一、十、百、千、萬也。所以算數(shù)事物，順性命之理也?！稌吩唬骸绕渌忝！盵38]即劉歆認(rèn)為“數(shù)”是人類用來規(guī)范宇宙萬物（包括人）的一種普遍存在，并以此為基礎(chǔ)將五聲、度量衡、三統(tǒng)三正和歷數(shù)關(guān)聯(lián)起來，宇宙由此變成一個(gè)以“數(shù)”作聯(lián)系和規(guī)范的系統(tǒng)。[39]“備數(shù)”續(xù)云：“本起黃鐘之?dāng)?shù)，始于一而三之，三三積之，歷十二辰之?dāng)?shù)，十有七萬七千一百四十七，而五數(shù)備矣。其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握?！盵40]即指出“數(shù)”起源于黃鐘，而其計(jì)算的方法是依靠算籌，271根算籌形成正六邊形。[41]“備數(shù)”又云：“夫推歷生律制器，規(guī)圜矩方，權(quán)重衡平，準(zhǔn)繩嘉量，探賾索隱，鉤深致遠(yuǎn)，莫不用焉。度長短不失毫厘，量多少不失圭攝，權(quán)輕重不失黍絫?！盵42]即強(qiáng)調(diào)“數(shù)”作用范圍之廣，音律、度量衡、歷法皆可用之。并云：“紀(jì)于一，協(xié)于十，長于百，大于千，衍于萬，其法在《算術(shù)》?！盵43]以劉歆《七略》為基礎(chǔ)的《漢書·藝文志》歷譜類記有《許商算術(shù)》《杜忠算術(shù)》。[44]許商為著名科學(xué)家，漢成帝時(shí)為大司農(nóng)。[45]由此可知，當(dāng)時(shí)已有以《算術(shù)》為名之書籍。因此，“備數(shù)”是說關(guān)于記數(shù)的方法刊載于《算術(shù)》。[46]“備數(shù)”又云：“宣于天下，小學(xué)是則。職在太史，羲和掌之。”[47]劉氏上奏之時(shí)即為羲和，這是強(qiáng)調(diào)該官位的權(quán)力?！稘h書·律歷志》“嘉量”篇中，劉歆提出“用度數(shù)審其容”的原則，給出了王莽銅斛的形制與數(shù)據(jù)，并指出“職在太倉，大司農(nóng)掌之。”[48]學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為他使用了3.1547的圓周率數(shù)值來計(jì)算。[49]總之，劉歆的論述建構(gòu)了“數(shù)”在考訂音律、度量衡、歷法等方面的基礎(chǔ)作用，并指出關(guān)于數(shù)的計(jì)算方法載于《算術(shù)》。光和大司農(nóng)斛、權(quán)銘文確立了這一思想與《九章算術(shù)》的權(quán)威地位。鄭玄以數(shù)學(xué)或《九章算術(shù)》注經(jīng)來調(diào)和各經(jīng)之間的差別（如《周禮》?氏量的容積、體積問題），也是劉歆思想與做法的延續(xù)。

值得注意的是，《漢書·律歷志》提出算籌“長六寸”。東漢經(jīng)學(xué)家許慎（約58-147）《說文解字》則云：“筭，長六寸。計(jì)歷數(shù)者。從竹弄，言常弄乃不誤也?！盵50]顯然繼承了《漢志》的說法?！稘h志》云：“其算法用竹”與“其法在《算術(shù)》”，說明“算法”是具體的計(jì)算方法，“算術(shù)”是具有普遍性的“術(shù)”，兩者是特殊與一般的關(guān)系。鄭玄延續(xù)了這一認(rèn)識(shí)。許慎撰《五經(jīng)異義》，鄭玄駁之，撰《駁五經(jīng)異議》，也用到數(shù)學(xué)。例如許氏云：“異義：《公羊》說：殷三千諸侯，周千八百諸侯。古《春秋左氏傳》說：禹會(huì)諸侯于涂山，執(zhí)玉帛者萬國。唐虞之地萬里，容百里地萬國，其侯伯七十里，子男五十里余，為天子間田?！编嵤像g曰：“諸侯多少，異世不同。萬國者，謂唐虞之制也。武王伐紂三分有二八百諸侯，則殷末諸侯千二百也。至周公制禮之后，準(zhǔn)《王制》千七百七十三國，而言周千八百者，舉其全數(shù)?！盵51]這即是許慎認(rèn)為《春秋公羊傳》與《春秋左氏傳》關(guān)于諸侯的數(shù)量有矛盾。鄭玄則認(rèn)為這些只是“舉其全數(shù)”，即取整數(shù)而言，從而調(diào)和了兩家說法。許慎認(rèn)為《公羊》與《左氏》關(guān)于閏月的問題有差別，鄭玄以《尚書·堯典》“以閏月定四時(shí)成歲”駁之。并云：“今廢其大、存其細(xì)，是以加猶譏之?！盵52]由此可見，盡管同樣認(rèn)識(shí)到各經(jīng)之間的不同，與許慎相比，鄭玄更擅長用數(shù)學(xué)、歷法等來調(diào)和它們。

總之，與鄭眾、許慎、馬融等學(xué)者相比，鄭玄更擅長以數(shù)學(xué)、歷法或《九章算術(shù)》注經(jīng)、融合統(tǒng)一古今文說。[53]劉歆提出數(shù)學(xué)是音律、度量衡和歷法基礎(chǔ)的思想，光和二年大司農(nóng)銅斛、銅權(quán)銘文則確立了這一思想與《九章算術(shù)》的官方權(quán)威地位，鄭玄大量引《九章算術(shù)》與官方立場(chǎng)契合。在學(xué)術(shù)與政治的歷史語境之下，鄭玄以數(shù)學(xué)注經(jīng)獲得了雙重的合法性，并最終為經(jīng)學(xué)家們所接受。

肆、鄭玄以數(shù)學(xué)注經(jīng)對(duì)后世之影響

從經(jīng)學(xué)史的角度看，鄭玄遍注群經(jīng)完成了經(jīng)學(xué)的統(tǒng)一，對(duì)后世影響極大。其實(shí)，從數(shù)學(xué)史的角度來說，鄭玄以數(shù)學(xué)注經(jīng)的做法，也對(duì)后世影響極大。

鄭玄引鄭眾說注九數(shù)，暗示《九章算術(shù)》來自《周禮》九數(shù)。既是對(duì)中國數(shù)學(xué)起源的一種建構(gòu)，又形塑了數(shù)學(xué)是禮或經(jīng)學(xué)一部分的觀念。一方面，劉徽注《九章算術(shù)》明確提出“九數(shù)之流，則《九章》是矣”，認(rèn)同了鄭氏的說法。宋代《算學(xué)源流》談到中國數(shù)學(xué)的起源，首先引李淳風(fēng)《晉書·律歷志》黃帝使隸首作算的說法，繼而引《漢書·律歷志》所載劉歆奏疏，之后便引《周禮》“九數(shù)”之鄭玄注。[54]另一方面，甄鸞撰《五經(jīng)算術(shù)》以傳統(tǒng)算學(xué)解答儒家經(jīng)典中的數(shù)學(xué)問題，李淳風(fēng)等為之注釋并立于唐朝學(xué)官，兩家都試圖延續(xù)鄭玄引《九章算術(shù)》注經(jīng)的做法。宋代大儒朱熹（1130-1200）雖然前期傾向于把數(shù)學(xué)排除在理學(xué)體系之外，但晚年還是將數(shù)學(xué)納入其編撰的《儀禮經(jīng)傳通解》。[55]明清之際學(xué)者們對(duì)于中國數(shù)學(xué)起源和數(shù)學(xué)與儒學(xué)關(guān)系的探討，仍然受到鄭玄的影響。

鄭玄注經(jīng)往往給出算法的大概或者計(jì)算結(jié)果，而沒有計(jì)算細(xì)節(jié)，這提供了后世學(xué)者發(fā)展數(shù)學(xué)的文本語境。唐初編撰《五經(jīng)正義》，鄭玄注被選為《毛詩》《周禮》《儀禮》《禮記》等經(jīng)的標(biāo)準(zhǔn)注解?？追f達(dá)、賈公彥等在鄭注基礎(chǔ)上進(jìn)行注疏，在其未給計(jì)算細(xì)節(jié)之處，補(bǔ)充了大量數(shù)學(xué)實(shí)作（mathematical practice），卻與《九章算術(shù)》《五經(jīng)算術(shù)》不盡相同，由此形成了經(jīng)學(xué)研究中獨(dú)特的算法傳統(tǒng)。該傳統(tǒng)受魏晉玄風(fēng)之影響，其興起不晚于皇侃（488-545）之《論語義疏》。[56]其不使用算籌、以文字推理的特點(diǎn)，則與鄭玄而下儒家重經(jīng)典、輕器物的知識(shí)傳授方式有關(guān)。由此導(dǎo)致的結(jié)果偏離了鄭玄引《九章算術(shù)》入經(jīng)學(xué)的初衷——儒家算法為經(jīng)學(xué)的一部分，而以《九章算術(shù)》為代表的傳統(tǒng)算學(xué)則是相對(duì)獨(dú)立的領(lǐng)域。朱熹前期對(duì)經(jīng)算傳統(tǒng)有所輕視，但是晚年卻對(duì)之有所發(fā)展。明清之際，該算法傳統(tǒng)續(xù)有發(fā)展。

鄭玄以數(shù)學(xué)融合、統(tǒng)一經(jīng)義的做法也被后世學(xué)者所接受。包咸（7-65）與馬融注《論語》“道千乘之國”各有不同，包氏依《禮記·王制》《孟子》，馬氏則依《周禮》。何晏兩存之?；寿﹦t以儒家開方算法來解釋兩者差別。[57]朱熹不同意鄭玄注《禮記·投壺》“三分益一則為二斗”的做法，也以算法釋之。明清之際大儒黃宗羲（1610-1695）繼續(xù)了這一討論。[58]清中葉孔廣森（1751-1786）、焦循（1763-1820）、清末劉岳云（1849-1917）等對(duì)此續(xù)有討論。

綜上所述，在東漢末年經(jīng)學(xué)章句繁多、劉歆提出的數(shù)學(xué)是音律、度量衡、歷法基礎(chǔ)的思想與《九章算術(shù)》被確立為校訂度量衡權(quán)威之背景下，為了統(tǒng)一經(jīng)學(xué)、融合古今文說，比他人更擅長《九章算術(shù)》與歷法的鄭玄，采取了以數(shù)學(xué)注經(jīng)的做法，期望《九章算術(shù)》成為禮學(xué)或經(jīng)學(xué)的一部分。然而，鄭玄經(jīng)注往往只敘梗概，或徑行給結(jié)果而沒有計(jì)算細(xì)節(jié)。因此，后世儒家（皇侃、孔穎達(dá)、賈公彥等）利用鄭氏語焉不詳之處，在魏晉玄學(xué)與輕器重經(jīng)的儒學(xué)傳統(tǒng)之下，發(fā)展出與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的、不使用算籌、以文字推理的算法傳統(tǒng)。后世算家（甄鸞、李淳風(fēng)等）雖力圖以傳統(tǒng)算學(xué)注經(jīng)、統(tǒng)一兩種算法傳統(tǒng)，未獲成功。南宋大儒朱熹早年將兩種算法傳統(tǒng)排除在其理學(xué)之外，晚年則將兩者一道納入其禮學(xué)之內(nèi)，卻造成了明清學(xué)者對(duì)待算學(xué)與儒學(xué)的多種不同態(tài)度與做法。因此，鄭玄以數(shù)學(xué)注經(jīng)的做法對(duì)后世影響極大，但是這一影響的結(jié)果卻偏離了鄭玄引《九章算術(shù)》入經(jīng)學(xué)之初衷。

注釋：
 
[1] 南朝宋．范曄，《后漢書》（北京：中華書局，1965），頁1207。本文凡引《后漢書》均據(jù)此，后文僅列書名與頁碼。
[2] “數(shù)學(xué)”在古代的語境中有數(shù)術(shù)的含義，本文中出現(xiàn)的“數(shù)學(xué)”不取此古義，而只取今義，即相相當(dāng)于英文之mathematics。
[3] 陳美東著《中國科學(xué)技術(shù)史．天文學(xué)卷》（北京：科學(xué)出版社，2001）與郭書春主編《中國科學(xué)技術(shù)史．?dāng)?shù)學(xué)卷》（北京：科學(xué)出版社，2010）都沒有專論鄭玄的天文學(xué)與數(shù)學(xué)。吳存浩對(duì)于鄭玄的自然科學(xué)成就作了一般性論述，見吳存浩，〈簡論鄭玄在自然科學(xué)上所取得的成就〉，《昌濰師專學(xué)報(bào)》7.4(2000): 7-9+17。學(xué)術(shù)界對(duì)于鄭玄《周禮．考工記》注是否發(fā)現(xiàn)胡克彈性定律，爭議很多。見儀德剛，〈反思“鄭玄彈性定律之辯”——兼答劉樹勇先生〉，《中國科技史雜志》40.1(2019): 113-116。
[4] 錢寶琮，〈《九章算術(shù)》及其劉徽注與哲學(xué)思想的關(guān)系〉，《李儼錢寶琮科學(xué)史全集．第九卷》，李儼、錢寶琮（沈陽：遼寧教育出版社，1998），頁685-695。
[5] 郭書春，〈劉徽與先秦兩漢學(xué)者〉，《中國哲學(xué)史》2.2(1993): 3-10。
[6] 見筆者的七篇文章，依次為：〈儒學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)與知識(shí)初探——以賈公彥對(duì)《周禮．考工記》“?氏為量”的注疏為例〉，《自然科學(xué)史研究》34.2(2015): 131-141；“Different Cultures of Computation in Seventh Century China from the Viewpoint of Square Root Extraction,” Historia Mathematica 43.1(2016): 3-25；〈再論中國古代數(shù)學(xué)與儒學(xué)的關(guān)系——以六至七世紀(jì)學(xué)者對(duì)禮數(shù)的不同注疏為例〉，《自然辯證法通訊》38.5(2016): 81-87；〈初唐的數(shù)學(xué)與禮學(xué)——以諸家對(duì)《禮記．投壺》的注疏為例〉，《中山大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）》57.2(2017): 244-257；〈算學(xué)、儒學(xué)與制度化——初唐數(shù)學(xué)的多樣性及其與儒學(xué)的關(guān)系〉，《漢學(xué)研究》35.4(2017): 109-134；〈從度量衡單位看初唐算法文化的多樣性〉，《中國科技史雜志》40.1(2019): 1-9；“Scholarship and Politics in Seventh Century China from the Viewpoint of Li Chunfeng’s Writing on Histories,” in Monographs in Tang Official History: Perspectives from the Technical Treatises of the History of Sui (Sui shu), Daniel Patrick Mongan and Damien Chaussende (eds.) (Switzerland: Springer, 2019), pp.89-116。
[7] 見筆者的四篇文章，依次為：〈朱熹的數(shù)學(xué)世界——兼論宋代數(shù)學(xué)與儒學(xué)的關(guān)系〉，《哲學(xué)與文化》45.11(2018): 167-182；〈儒家開方算法之演進(jìn)——以諸家對(duì)《論語》“道千乘之國」的注疏為中心〉，《自然辯證法通訊》41.2(2019): 49-55；〈宋代的數(shù)學(xué)與易學(xué)——以《數(shù)書九章》“蓍卦發(fā)微”為中心〉，《周易研究》32.2(2019): 81-92；〈明清之際的數(shù)學(xué)、儒學(xué)與西學(xué)——以黃宗羲的數(shù)學(xué)實(shí)作為中心〉，《內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版）》48.6(2019): 538-544。并見Chen Zhihui, “Scholars’ Recreation of Two Traditions of Mathematical Commentaries in Late Eighteenth-century China,” Historia Mathematica 44.2(2017): 105-133。
[8] 吳文俊（1919-2017）認(rèn)為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的算法具有構(gòu)造性和機(jī)械化特色。見吳文俊，〈從《數(shù)書九章》看中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的構(gòu)造性與機(jī)械化特色〉，氏編，《秦九韶與〈數(shù)書九章〉》（北京：北京師范大學(xué)出版社，1987），頁73-88。李繼閔（1938-1993）認(rèn)為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論在表現(xiàn)形式上的特點(diǎn)是“寓理于算”。見李繼閔，《〈九章算術(shù)〉導(dǎo)讀與譯注》（西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998），頁38。
[9] 例如呂凱，《鄭玄之讖緯學(xué)》（臺(tái)北：臺(tái)灣商務(wù)印書館，1982）；池田秀三、洪春音，〈緯書鄭氏學(xué)研究序說〉，《書目季刊》37.4(2004): 59-78；姜喜任，〈論鄭玄《乾鑿度》《乾坤鑿度》注的圣王經(jīng)世義蘊(yùn)〉，《周易研究》29.5(2016): 67-74等。
[10] 漢．鄭玄注，唐．賈公彥疏，《周禮注疏》，清·阮元校刻，《十三經(jīng)注疏》第1冊(cè)（北京：中華書局，1980），頁731。本文凡引《周禮注疏》均據(jù)此，后文僅列書名和頁碼。
[11] 郭書春匯校，《匯校〈九章筭術(shù)〉增補(bǔ)版》（沈陽：遼寧教育出版社/臺(tái)北：九章出版社，2004），頁1。
[12]《周禮注疏》，頁971。
[13] 漢．鄭玄注，唐．孔穎達(dá)等疏，《禮記正義》，清·阮元?？蹋妒?jīng)注疏》第1冊(cè)（北京：中華書局，1980），頁1576。本文凡引《禮記正義》均據(jù)此，后文僅列書名和頁碼。
[14] 對(duì)于鄭玄注“?氏為量”的具體分析，見朱一文，〈儒學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)與知識(shí)初探——以賈公彥對(duì)《周禮．考工記》“?氏為量”的注疏為例〉。對(duì)于鄭玄注“二十兩曰溢，于粟米之法，為米一升二十四分升之一?！钡木唧w分析，見朱一文，〈從度量衡單位看初唐算法文化的多樣性〉。
[15]《周禮注疏》，頁910。
[16] 郭書春，《匯?！淳耪鹿g術(shù)〉增補(bǔ)版》，頁409-410。
[17] 對(duì)于此例鄭玄、賈公彥算法的分析，見Zhu Yiwen, “Different Cultures of Computation in Seventh Century China from the Viewpoint of Square Root Extraction,” Historia Mathematica 43.1(2016)。
[18]《禮記正義》，頁1666。
[19] 對(duì)于此例鄭玄、孔穎達(dá)等、甄鸞、李淳風(fēng)等算法的分析，見朱一文，〈初唐的數(shù)學(xué)與禮學(xué)——以諸家對(duì)《禮記．投壺》的注疏為例〉，《中山大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）》57.2(2017)。
[20] 漢．鄭玄注，唐．賈公彥疏，《儀禮注疏》，清·阮元?？蹋妒?jīng)注疏》第1冊(cè)（北京：中華書局，1980），頁1097。本文凡引《儀禮注疏》均據(jù)此，后文僅列書名和頁碼。
[21]《禮記正義》，頁1499。
[22] 對(duì)于此例的分析，見朱一文，〈再論中國古代數(shù)學(xué)與儒學(xué)的關(guān)系——以六至七世紀(jì)學(xué)者對(duì)禮數(shù)的不同注疏為例〉，《自然科學(xué)史研究》34.2(2015)；朱一文，〈算學(xué)、儒學(xué)與制度化——初唐數(shù)學(xué)的多樣性及其與儒學(xué)的關(guān)系〉，《漢學(xué)研究》35.4(2017)。
[23]《儀禮注疏》，頁1097。
[24] 根據(jù)計(jì)算，“四十二”應(yīng)為“四十三”。
[25] 漢．鄭玄注，《周易乾鑿度》，《景印文淵閣四庫全書．第53冊(cè)》（臺(tái)北：臺(tái)灣商務(wù)印書館，1986），頁877。
[26] 清人張惠言《易緯略義》（廣州：廣雅書局，1920）引各家說法，認(rèn)為此處文字多有脫衍。筆者此處僅引本文，對(duì)脫衍等問題不作討論。
[27] 同注25。
[28] 同注25。
[29]《周禮注疏》，頁916-917。
[30]《周禮注疏》，頁913。
[31]《后漢書》，頁1209。
[32] 葉純芳，《中國經(jīng)學(xué)史大綱》（北京：北京大學(xué)出版社，2016），頁160-161。
[33]《后漢書》，頁1207。
[34] 清．皮錫瑞，《經(jīng)學(xué)歷史》（北京：中華書局，1959），頁149。
[35] 邱隆、丘光明、顧茂森、劉東瑞、巫鴻編，《中國古代度量衡圖集》（北京：文物出版社，1981），頁97。
[36] 高大倫、張懋镕，〈漢光和斛、權(quán)的研究〉，《西北大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）》13.4(1983): 74-83。該文推測(cè)曹祾即《后漢書》所載“太仆曹陵”，光和元年為太仆，二年改任大司農(nóng)。
[37] 漢．班固，《漢書》（北京：中華書局，1962），頁956。
[38] 同上注。
[39] 丁四新，〈“數(shù)”的哲學(xué)觀念與早期《老子》文本的經(jīng)典化——兼論通行本《老子》分章的來源〉，《中山大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）》59.3(2019): 108-118。
[40] 同注37。
[41] 李儼，〈籌算制度考〉，氏著，《中算史論叢．第四集》（北京：中華書局，1955），頁1-8。
[42] 同注37。
[43] 同注37。
[44] 漢．班固，《漢書》，頁1766。
[45] 吳文俊主編，《中國數(shù)學(xué)史大系．第2卷》（北京：北京師范大學(xué)出版社，1998），頁13-14。
[46] 學(xué)術(shù)界對(duì)于《九章算術(shù)》的成書年代存在爭議，劉歆時(shí)期《九章算術(shù)》是否成書還不確定。因此，我們無法確定此處之《算術(shù)》是否指《九章算術(shù)》。由于此議題不是本論文的主旨，筆者不進(jìn)行進(jìn)一步的討論。
[47] 同注37。
[48] 漢．班固，《漢書》，頁967-968。
[49] 丘光明、邱隆、楊平，《中國科學(xué)技術(shù)史．度量衡卷》（北京：科學(xué)出版社，2001），頁216-230。
[50] 漢．許慎撰，清．段玉裁注，《說文解字注》（上海：上海古籍出版社，1981），頁198。
[51] 清．皮錫瑞，《駁五經(jīng)異議疏正》，《續(xù)修四庫全書．第171冊(cè)》（上海：上海古籍出版社，2002），頁206。
[52] 清．皮錫瑞，《駁五經(jīng)異議疏正》，《續(xù)修四庫全書．第171冊(cè)》（上海：上海古籍出版社，2002），頁198。
[53] 匿名審查人指出“清代阮元有《疇人傳》一書，〈后漢二〉有：劉洪，蔡邕，何休，鄭玄，徐岳，郄萌，趙爽。”并期待筆者能說明鄭玄與其他數(shù)學(xué)家的差異。阮元《疇人傳》論鄭玄云“康成括囊大典，網(wǎng)絡(luò)眾家，為千古儒宗，于天文數(shù)術(shù)，尤究極微眇。如箋《毛詩》，據(jù)《九章》粟米之率；注《易瑋》，用《乾象》斗分之?dāng)?shù)。蓋其學(xué)有本，東京諸儒，皆不逮也?！鼻澹钤?、羅士琳、華世芳、諸可寶、黃鐘駿等撰，馮立昇、鄧亮、張俊峰校注，《疇人傳合編校注》（鄭州：中州古籍出版社，2012），頁61。事實(shí)上，鄭玄引數(shù)學(xué)注經(jīng)、嫻熟地運(yùn)用《九章算術(shù)》是其區(qū)別于諸儒的一大特點(diǎn)。劉洪、徐岳、趙爽等歷算家在數(shù)學(xué)專業(yè)上有貢獻(xiàn)，鄭玄則志不在此。不過如果以今日的數(shù)學(xué)眼光視之，則可以說其他算家是在《九章算術(shù)》“問、答、術(shù)”的體例內(nèi)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造，鄭玄引《九章算術(shù)》注經(jīng)實(shí)際提供了新的數(shù)學(xué)文本語境（即隱題），而新的文本形式一定會(huì)帶來新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此這可以視作鄭氏在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)。關(guān)于此議題，見Zhu Yiwen, “How do We Understand Mathematical Practices in Non-mathematical Fields? Reflections Inspired by Cases from 12th and 13th Century China,” Historia Mathematica 52(2020): 1-25。
[54] 郭書春主編，《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯．?dāng)?shù)學(xué)卷》第1卷（鄭州: 河南教育出版社，1993），頁427。
[55] 朱一文，〈朱熹的數(shù)學(xué)世界——兼論宋代數(shù)學(xué)與儒學(xué)的關(guān)系〉，《哲學(xué)與文化》45.11(2018)。
[56] 朱一文，〈儒家開方算法之演進(jìn)——以諸家對(duì)《論語》“道千乘之國」的注疏為中心〉，《自然辯證法通訊》41.2(2019)。
[57] 同上注。
[58] 朱一文，〈明清之際的數(shù)學(xué)、儒學(xué)與西學(xué)——以黃宗羲的數(shù)學(xué)實(shí)作為中心〉，《內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版）》48.6(2019)。
 
 
參考文獻(xiàn)
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二、近人論著
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